Question

如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．

Answer 1

分析：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．
当正方形两边在直角三角形上时，易得△BED∽△BAC，利用对应边成比例可得正方形的边长；
当正方形的一边在直角三角形上时，易得△CSR∽△CAB，利用对应边的比等于对应高的比可得正方形的边长，比较即可．

解答：解：（1）∵ED∥AC，
∴△BED∽△BAC，
设正方形CDEF的边长为x，则有

x

4

=

3-x

3

，
解得x=

12

7

cm；

（2）∵SR∥AB，
∴△CSR∽△CBA，
设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M，而知CN=

12

5

cm，
同样有

12 5 -y

12 5

=

y

5

，
解得y=

60

37

（cm），
x-y=

12

7

-

60

37

=

444-420

7×37

＞0，故x＞y，
∴面积达最大的正方形不锈钢片的边长为

12

7

cm．

点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比．