Question

（2012•西宁）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析：（1）连OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，而AD⊥CD，则AD∥OC，根据平行线的性质得∠1=∠2，易得∠1=∠3，则∠2=∠3，又根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，根据三角形相似的判定即可得到结论；
（2）由于四边形ABGC为⊙O的内接四边形，根据圆的内接四边形的性质得∠B+∠ACG=180°，易得∠ACD=∠B，又∠ADC=∠AGB=90°，利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB，在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，根据正切的定义得到tan∠GAB=

GB

GA

=

3

4

，即可得到tan∠DAC的值．

解答：（1）证明：连OC，如图
∵直线CD与⊙O相切于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

（2）解：∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ACG=180°，
而∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠B，
而∠ADC=∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠GAB，
在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，
∴tan∠GAB=

GB

GA

=

3

4

，
∴tan∠DAC=

3

4

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆的切线性质和圆的内接四边形的性质是解题的关键；同时运用三角形相似的判定方法和三角函数的定义解决问题．