Question

【题目】如图，在长方形中，，线段上有动点，过作直线交边于点，并使得．

当与重合时，求的长；

在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】；或或时，是等腰直角三角形．

【解析】

（1）根据N与A重合时，BN=AB，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠PNM=90°时，求出△APN和△BNM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=BM，AP=BN，然后根据AB=3列出方程计算即可得解；②∠PMN=90°时，过点P作PE⊥BC于E，求出△PME和△MNB全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=BM，BN=ME，再根据BE=BM+ME列式计算即可得解；③∠MPN=90°时，过点M作MF⊥AD于F，求出△APN和△FMP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=MF．

与重合时，，

∴；①时，如图，易得，

在和中，，

∴≌，

∴，，

∵，

∴，

解得，

∴；

②时，如图，过点作于，

易得，

在和中，，

∴≌，

∴，，

∴；

③时，如图，过点作于，

易得，

在和中，，

∴≌，

∴，

综上所述，或或时，是等腰直角三角形．