Question

【题目】如图，在边长为的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．

（）试证明：无论点运动到上何处时，都有≌．

（）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，点以每秒单位长度的速度匀速运动，当恰为等腰三角形，求点运动的时间．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点运动时间分别为， ， ．

【解析】试题分析：（1）根据SAS证明即可；（2）分别讨论当AD=DQ，AD=AQ，AQ=DQ三种情况.

解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAC=∠BAC，

在△ADQ和△ABQ中，AD=AB，∠DAC=∠BAC，AQ=AQ，∴△ADQ≌△ABQ.

（2）①如图①中，当AQ=DQ时，∠QDA=∠QAD=45°，则点Q为正方形ABCD的中心，点B与点P重合，此时点P运动的时间为t1=4÷1=4（s）；

②图②中，当AQ=AD时，则∠ADQ=∠AQD，

∵正方形ABCD边长为4，∴AC，

∴CQ=AC-AQ=，

∵AD∥BC，∴∠CPQ=∠ADQ，

∴∠CPQ=∠AQD=∠CQP，∴CP=CQ=，

∴BP=，

∴P点运动的时间为t2=（4+8-）÷1．

（3）如图③，当AD=DQ时，点C，P，Q三点重合，

此时P点运动时间为t3=（4+4）÷1=8（s）．

综上，当△ADQ恰为等腰三角形时，点P运动时间可以为4s， ，8s．