题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），B（4，0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M（a，1）为第一象限内的点
（1）则D（____， ____），并求直线BD的解析式；
（2）当
时，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，当△CDE为等腰三角形时，求E点的坐标.
【答案】（0,3），BD的解析式为
；（2）a=6；（3）E（0， 
）
【解析】试题分析：（1）设OD=x，则AD=8-x，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD=8-x，在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；直线BD的解析式为y=kx+b，由待定系数法即可得出答案；
（2）由题意得出△DBC与△DBM是等高的三角形得出直线BD与直线CM平行，求出直线CM的解析式为y=-
x+
；把M（a，1）代入求出a=6即可；
（3）由勾股定理求出AB，得出AC=2
，由勾股定理求出CD=
=
，分三种情况：①DC=DE时；②CE=CD时；③EC=ED时；分别求出点E的坐标即可．
试题解析：(1)∵A(0,8),B(4,0)，
∴OA=8，OB=4，
设OD=x，则AD=8x，
∵AB的垂直平分线交y轴于点D，
∴BD=AD=8x，
在Rt△BOD中,由勾股定理得：x2+42=(8x)2，
解得：x=3，
∴D(0,3)；
故答案为：0，3；
设BD的解析式为y=kx+b
把B（4，0）D（0，3）代入y=kx+b得：
解得
则y=
，
(2) ∵S△DBC=S△DBM时
∴△DBC与△DBM是等高的三角形
∴直线BD与直线CM平行
设CM的解析式为y= 
又∵C(2，4)
∴CM的解析式为y=
又∵M（a，1）且在第一象限
∴a=6 .
(3) 由勾股定理得，AB=
，
∵点C为边AB的中点，
∴AC=
AB=
×4
=2
，AD=5
∴CD=
设E(0，x)，则DE=∣x-3 ∣,D（0，x）
①DC=DE时，
∴
=∣x-3 ∣
∴x=
或x=
∴E（0， 
）或（0， 
）；
②CE=CD时，过C作CF⊥AO交AO于F，
∴F为DE的中点，且F (0，4)
∴EF=DF=1
∴x-4=1
∴x=5
E（0，5）
③ EC=ED时，过E作EQ⊥CD于Q，
则EQ∥AB，
∴Q为CD的中点，
∴E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴8x=x3，
解得：x=
，
E(0， 
)；
综上所述：当△CDE为等腰三角形时，E点的坐标为(0， 
+3)或(0，
+3)或(0，5)或(0， 
).
