Question

（2012•惠安县质检）如图⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m²+n²的最小值是（　　）

A．9

B．16

C．25

D．36

Answer 1

分析：由于圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OC=

32+42

=5，OP=

m2+n2

，这样把m²+n²理解为点P点圆点的距离的平方，利用图形可得到当点运动到线段OC上时，点P离圆点最近，即m²+n²有最小值，然后求出此时的PC长即可．

解答：解：连OC交⊙O于P′点，如图，
∵圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），
∴OC=

32+42

=5，OP=

m2+n2

，
∴m²+n²是点P点圆点的距离的平方，
∴当点运动到线段OC上时，即P′处，点P离圆点最近，即m²+n²有最小值，
此时OP=OC-PC=5-1=4，则m²+n²=16．
故选B．

点评：本题考查了点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，圆的半径为R，当d＞R，点在圆外；当d=R，点在圆上；当d＜R，点在圆内．也考查了勾股定理以及坐标与图形的关系．