题目内容
【题目】如图，已知
为
的直径，
、
是的弦，
是的切线，切点为
，
，
、
的延长线相交于点
.
（1）求证：
是的切线；
（2）若
，
，求的半径.
（3）在（2）中的条件下，
，将
以点
为中心逆时针旋转
，求扫过的图形的面积（结果用
表示）.
【答案】（1）见解析；（2）圆
的半径为4；（3）BD扫过的图形的面积为
【解析】
（1）如图1（见解析），连接DO，先根据平行线的性质和等腰三角形的性质推出
，再由
定理判定
，从而可得
，最后根据圆的切线的判定定理即可证；
（2）根据题（1）的结论，在
中，利用勾股定理即可得；
（3）如图2（见解析），先确定阴影部分为BD所扫过的图形，再利用扇形和三角形的面积公式求解即可.
（1）如图1，连结
∵
∴
又∵
∴
∴
在
和
中，
∴
∵
是圆的切线
∴
∴
又∵点
在圆上，OD为圆O的半径
∴
是圆的切线；
（2）如图1，设圆的半径为r
则
由题（1）的结论，
是直角三角形
则
，即
，解得
故圆的半径为4；
（3）如图2，由旋转的过程得：阴影部分为BD所扫过的图形
由题（2）可知
由旋转的性质得，
和
的面积相等
则所扫过的图形面积为：
空白区域的面积为：
因此，
故
扫过的图形的面积为.
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