Question

（2012•东莞模拟）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边的中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂；…；如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n，那么四边形A₁₅B₁₅C₁₅D₁₅的周长为

a+b

128

．

Answer 1

分析：根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的

1

2

；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A₁₅B₁₅C₁₅D₁₅的周长，

解答：解：根据中位线的性质易知，A₁₅B₁₅=

1

2

A₁₃B₁₃×

1

2

A₁₁B₁₁…×

1

2

A₁B₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

…×

1

2

AC；
B₁₅C₁₅=

1

2

B₁₃C₁₃×

1

2

A₁₁B₁₁×…=×

1

2

B₁C₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

…×

1

2

BD，
∴四边形A₁₅B₁₅C₁₅D₁₅的周长是2×

1

2 8

（a+b）=

a+b

128

．
故答案为

a+b

128

．

点评：本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．