Question

如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，?ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．
（1）求∠DCB的度数；
（2）当点F的坐标为（-4，0）时，求点G的坐标；
（3）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于平行四边形的对角相等，只需求得∠DAO的度数即可，在Rt△OAD中，根据A、D的坐标，可得到OA、OD的长，那么∠DAO的度数就不难求了．
（2）根据点E、F的坐标求得直线EF的方程，然后将点G的纵坐标代入该直线方程即可求得点G的横坐标．
（3）①根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得到AE、OE的长，由此可判定△AOE是等边三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根据轴对称的性质知∠OF′E=∠EFA，通过等量代换可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可证得所求的三角形相似．
②过E作CD的垂线，设垂足为M，则EM为△EGH中GH边上的高，根据△EGH的面积即可求得GH的长，在①题已经证得△DEG∽△DHE，可得DE²=DG•DH，可设出DG的长，然后表示出DH的值，代入上面的等量关系式中，即可求得DG的长，根据轴对称的性质知：DG=AF，由此得到AF的长，进而可求得F点的坐标，需注意的是，在表示DH的长时，要分两种情况考虑：一、点H在G的右侧，二、点H在G的左侧．
解答：解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD==，
∴∠A=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°；

（2）∵点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，），点E为线段AD的中点，
∴点E的坐标是（-1，）．
设直线EF的方程为y=kx+b（k≠0），则，
解得，，
∴直线EF的解析式是：y=x+．
又∵点G的纵坐标是2，
∴2=x+．
解得，x=2，
∴点G的坐标是（2，2）；

（3）①证明：∵E（-1，），AE=DE=2，OE=OA=2，
∴△OAE是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°；
根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，
∴∠OF′E=∠DEH；
∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，
∴∠DGE=∠DEH，
又∵∠GDE=∠EDH，
∴△DGE∽△DEH．

②过点E作EM⊥直线CD于点M，
∵CD∥AB，
∴∠EDM=∠DAB=60°，
∴EM=DE•sin60°=2×=，
∵S_△EGH=GH•ME=×GH=3，
∴GH=6；
∵△DHE∽△DEG，
∴=即DE²=DG•DH，
当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，
∴4=x（x+6），
解得：x₁=-3+，x₂=-3-（舍去），
∴点F的坐标为（1-，0）；
当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x-6，
∴4=x（x-6），
解得：x₁=3+，x₂=3-（舍去），
∵△DEG≌△AEF，
∴AF=DG=3+，
∵OF=AO+AF=3++2=5+，
∴点F的坐标为（--5，0），
综上可知，点F的坐标有两个，分别是F₁（1-，0），F₂（--5，0）．
点评：此题涉及的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．