Question

【题目】如图，长方形OABC在平面直角坐标系内(0为坐标原点)，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标分别为(－2，2)，点E是BC的中点，点H在OA上，且AH＝，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将长方形折叠，使頂点C落在HG上的D点处，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点.

(1)求点D的坐标；

(2)求折痕EF所在直线的函数表达式；

(3)若点P在直线AB上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个?请求出点P的坐标，并写出解答过程.

Answer 1

【答案】（1）D（-，）；（2）EF所在直线的函数表达式为：y=-x+；（3）存在．（-2,0）或 （-2，）或（-2，）.

【解析】

（1）由条件可以求出EC=EB=1，根据轴对称的性质可以求出ED=1，利用三角函数值求出∠GED的度数，从而可以求出∠CEF的度数，利用勾股定理求得DG的值，则可以求出D点的坐标；
（2）利用三角函数值求出CF的值，从而求出F的坐标，设出直线EF的解析式，直接利用待定系数法求出其解析式就可以了；
（3）设点P在线段AB上，分类讨论PD=PF,DF=FPA,DF=PD三种情况分类讨论，即可.

解：(1)∵E是BC的中点，
∴EC=EB==1．
∵△FCE与△FDE关于直线EF对称，
∴△FCE≌△FDE，
∴ED=EC=1，∠FCE=∠FDE=90°，DF=CF．
∵AH=，
∴EG=EB-AH=1-=．

在Rt△GED中，由勾股定理得：
DG2=ED2-EG2=1-=
∴DG=

DH=AB-DG=-=
OH=OA-AH=2-=
故D（-，）

(2)∵cos∠GED==，
∴∠GED=60°．
∴∠DEC=180°-60°=120°．
∵∠DEF=∠CEF
∴∠CEF==60°．
∴CF=ECtan60°=

∴OF=OC-CF=2-=
∴F（0，），E（-1，2）
设EF所在直线的函数表达式为y=kx+b，由图象，得

，
解得：
故EF所在直线的函数表达式为：y=-x+；
(3)存在．

情况一：

点P1在直线AB上，连接P1D、P1F，作P1M⊥y轴交y轴于点M，交GH于点N，

当△P1FD为等腰三角形时，若P1D= P1F.

设FM=a,则OM=OF-a=-a

∵点B的坐标分别为(－2，2)，

∴P1M=2，MN=,DH=,P1M=2

∴P1N= P1M-MN=2-=

DN=DH-NH= DH-(OF-FM)= -(-a)= +a
∵△P1MF、△P1ND是直角三角形

∴在Rt△P1MF中，由勾股定理得，

在△P1ND中，由勾股定理得，

化简得：

∵P1D= P1F.

∴=

解得

∴OM=OF-a=-a=0

∴P1（-2,0）与A点重合.

情况2：

点P1在直线AB上，连接P2D、P2F，作P2M⊥y轴交y轴于点M，交GH于点N，

作DN⊥y轴交y轴于点N.

设当△P2FD为等腰三角形时，若DF= P2F.

设FM=a,则OM=OF-a=-a

在Rt△P1MF中，由勾股定理得，

由情况1得，(已证)

∵点B的坐标分别为(－2，2)， ，OF=

∴NF=ON-OF=-=，DN=

∴在Rt△DFN中，由勾股定理得，

∵DF= P2F.

∴3=

(不符合题意，故舍去)

情况三：

点P3在直线AB上，连接P3D、P3F，作P3M⊥y轴交y轴于点M，交GH于点N，

作DN⊥y轴交y轴于点N.

设当△P3FD为等腰三角形时，若DF= P3D.

由情况2可知：(已证)

设P3（-2，b）

∴在Rt△P3ND中，由勾股定理得，

则

∵DF= P3D.

∴DF2= P3D2

则3=

解得或

所以P3坐标为（-2，）或（-2，）

所以，综上所述存在，坐标是（-2,0）或 （-2，）或（-2，）