Question

已知：抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OB＜OC)是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)求此抛物线的表达式；

(3)求△ABC的面积；

(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 　　∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC 　　∴点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，8) 　　又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 　　∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(－6，0) 　　∴A、B、C三点的坐标分别是A(－6，0)、B(2，0)、C(0，8) 　　(2)∵点C(0，8)在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 　　∴c＝8，将A(－6，0)、B(2，0)代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得 　　　解得 　　∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 　　(3)∵AB＝8，OC＝8 　　∴S△ABC＝×8×8＝32 　　(4)依题意，AE＝m，则BE＝8－m， 　　∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 　　∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC 　　∴＝　　即＝∴EF＝ 　　过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 　　∴＝　∴FG＝·＝8－m 　　∴S＝S△BCE－S△BFE＝(8－m)×8－(8－m)(8－m) 　　＝(8－m)(8－8＋m)＝(8－m)m＝－m2＋4m 　　自变量m的取值范围是0＜m＜8 　　(5)存在．理由： 　　∵S＝－m2＋4m＝－(m－4)2＋8　　且－＜0， 　　∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 　　∵m＝4，∴点E的坐标为(－2，0) 　　∴△BCE为等腰三角形．