Question

【题目】如图，矩形中，，，点在上，连接点在直线上，交于点．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）求证：；

（3）当为中点时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）由矩形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA，由已知∠AMN=∠AMB，得出∠AMN=∠NAM，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC=2，AB=CD=3，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA，作NH⊥AM于H，由等腰三角形的性质得出AH=AM，证明△NAH∽△AMB，得出，即可得出结论；

（3）求出BM=CM=BC=×2=1，由（2）得AM2=2BMAN，得出AM2=2AN，由勾股定理得出AM2=AB2+BM2=10，求出AN=5，得出DN=AN-AD=3，设DE=x，则CE=3-x，证明△DNE∽△CME，得出，求出DE=，得出CE=DC-DE=，再由勾股定理即可得出答案．

解：（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，又，

∴，

∴，即是等腰三角形；

（2）解：作于，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴

∴

（3）解:∵为中点，

∴，

由（2）得，，

∵，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，即，

解得，，即，

∴，

∴．