Question

已知如图，△ABC中，AC=BC，BC与x轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+7将四边形ACBD面积平分，求此直线的解析式；
（3）若直线y=kx+b将四边形ACBD的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定y=kx+b中k的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据已知抛物线，利用对称轴公式代入数据即可得出对称轴，同时也可以得出C点的坐标，利用AC=BC，即可得出A点的坐标和B点的坐标，代入抛物线方程即可得出a的值，即得出该抛物线的解析式；
（2）结合题意，可知直线一定经过OB的中点P．又已知P点的坐标，代入直线方程，即可得出k的值，从而得出直线的方程；
（3）同（2）；

解答：解：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为：x=-

-5a

2a

=

5

2

，
与y轴交点为c（0，4）
∴A（-3，0）；B（5，4）．（1分）
把A（-3，0）代入y=ax²-5ax+4得：9a+15a+4=0（2分）
解之得：a=-

1

6

∴y=-

1

6

x2+

5

6

x+4；（3分）

（2）直线y=kx+7将四边形ACBD面积平分，则直线一定经过OB的中点P．
根据题意可求P点坐标为（

5

2

，2）（4分）
把P（

5

2

，2）代入y=kx+7得：k=-2，
∴直线的解析式为：y=-2x+7；（5分）

（3）k≤-

4

5

或k≥

4

5

．（7分）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．