Question

已知函数y=x²-|x|-12的图象与x轴交于相异两点A、B，另一抛物线y=ax²+bx+c过点A、B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：根据函数y=x²-|x|-12的图象与x轴交于相异两点A、B，令y=0，则x²-|x|-12=0，从而确定x=±4；再根据△APB是等腰直角三角形，可以确定P（0，4）或（0，-4），再根据待定系数法求解．

解答：解：根据题意，得
令y=0，则x²-|x|-12=0，从而x=±4．
又△APB是等腰直角三角形，可以确定P（0，4）或（0，-4），
把（-4，0），（4，0），（0，4）代入y=ax²+bx+c，得

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得：a=

1

4

，b=0，c=4．
把（-4，0），（4，0），（0，-4）代入y=ax²+bx+c，得

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=-4

，
解得：a=-

1

4

，b=0，c=-4．
故答案为a=

1

4

，b=0，c=4或a=-

1

4

，b=0，c=-4．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点即为令y=0对应的一元二次方程的根；等腰直角三角形斜边上的高即为斜边的一半的性质以及运用待定系数法求函数的解析式的方法．