Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=DC=4，tanB=

4

3

．
求：（1）△ABC的面积；
（2）sin∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC的面积=

1

2

×BC×AD，求出BC的长代入求解即可，而CB可以利用已知条件根据三角函数求出；
（2）△ABC为一般三角形，故可通过作辅助线AC边上的高，可将一般三角形的正弦值转化为在直角三角形中进行求解．

解答：解：（1）在Rt△ADB中，∠ADB=90°，tanB=

AD

BD

=

4

3

，（1分）
∴

4

BD

=

4

3

，
∴BD=3，
∴BC=BD+DB=3+4=7，
∴S△ABC=

1

2

×4×7=14；

（2）如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
AC=

AD2+DC2

=4

2

，
∵S△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

×4

2

•BE=14，
∴BE=

7 2

2

，（1分）
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
AB=

AD2+BD2

=

4+32

=5，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，
sin∠BAC=

BE

AB

=

7 2 2

5

=

7 2

10

．

点评：通过作辅助线，把求一般三角形的三角函数值转化为在直角三角形中求解，使求解过程变得简单．