Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E是BC上的一点，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若BD=5cm，BC=12cm，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）根据BD⊥CB，∠ACB=90°可知∠D+∠BCD=∠AEC+∠BCD=90°，即可证明∠D=∠AEC，然后根据AAS可证明△DBC≌△ECA，即而可得AE=CD；
（2）根据（1）可得AE=CD，利用勾股定理求出CD的长度，然后利用三角形的面积公式即可求得CF的长度．

解答：解：（1）∵BD⊥CB，∠ACB=90°，
∴∠D+∠BCD=∠AEC+∠BCD=90°，
∴∠D=∠AEC，
在△DBC和△ECA中，

∠D=∠AEC ∠DBC=∠ECA BC=CA

，
∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴AE=CD；

（2）∵BD=5cm，BC=12cm，
∴DC=

BD2+BC2

=13cm，
∴AE=13cm，
∵EC=BD=5cm，AC=BC=12cm，
∴在Rt△ECA中，S_△ECA=

1

2

AE×FC=

1

2

AC×EC，
∴FC=

60

13

cm．

点评：本题考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是运用勾股定理求出直角三角形的边长，根据已知条件判定三角形的全等．