Question

平面直角坐标系中边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．如图，将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．

(1)求此时OA旋转的度数；

(2)旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

(3)设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：延长BA交轴于E点， 　　(1)∵直线是一、三象限的角平分线 　　∴∠MOE＝∠MON＝×90°＝45° 　　∴A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转时，OA旋转了45°；(2分) 　　(2)∵四边形ABCO是正方形 　　∴∠B＝∠OAB＝∠OCB＝∠AOC＝90°，OA＝OC， 　　且∠BAC＝∠BCA＝45° 　　∵MN∥AC，∴∠BMN＝∠BAC＝45°，∠BNM＝∠BCA＝45° 　　∠BMN＝∠BNM．∴BM＝BN．(4分) 　　又∵BA＝BC， 　　∴BA－BM＝BC－BN 　　即AM＝CN． 　　又∵∠OAM＝∠OCN＝90°，OA＝OC， 　　∴△OAM≌△OCN．(6分) 　　∴∠AOM＝∠CON． 　　∴∠AOM＝∠CON＝(∠AOC－∠MON) 　　＝(90°－45°)＝22.5°， 　　∴当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为22.5°(7分) 　　(3)值无变化，理由如下： 　　∵由旋转的性质得：∠AOE＝∠CON．(8分) 　　又∵∠OAE＋∠OAB＝180°，∠OAB＝90° 　　∴∠OAE＝90° 　　∴∠OAE＝∠OCN＝90°， 　　又∵OA＝OC 　　∴△OAE≌△OCN．(9分) 　　∴OE＝ON，AE＝CN 　　又∵∠MOE＝∠MON＝45°， 　　OM＝OM， 　　∴△OME≌△OMN，(10分) 　　∴MN＝ME＝AM＋AE． 　　∴MN＝AM＋CN． 　　∴＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝4．(11分) 　　∴在正方形OABC旋转的过程中值无变化．(12)