题目内容

探究：如图①， 在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD于点E．若AE=10,求四边形ABCD的面积.

应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC于点E.若AE=19，BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为         .

探究：过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F.  

∵AE⊥CD，∠BCD＝，

∴四边形AFCE为矩形.

∴∠FAE＝.

∴∠FAB＋∠BAE＝.

∵∠EAD＋∠BAE＝，

∴∠FAB＝∠EAD.

∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝，

∴△AFB≌△AED.   

∴AF＝AE.

∴四边形AFCE为正方形.

∴＝＝＝＝100.                     （6分）

练习册系列答案
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28、利用平行线的性质探究：
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图＜1＞，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）当动点P落在第②部分时，在图＜2＞中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
（2）当动点P落在第③部分时，在图＜3＞、图＜4＞中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．

（1）当动点P落在第②部分时
∠APB=∠PAC+∠PBD
．
（2）当动点P落在第③部分时（如图＜3＞）
∠PBD=∠APB+∠PAC
．
当动点P落在第③部分时（如图＜4＞）
∠PAC=∠PBD+∠APB
．
（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积S=
 
，△EFC的面积S1=
 
，△ADE的面积S2=
 
．
探究发现
（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．
拓展迁移
（3）如图，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．
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（2013•响水县一模）探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

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已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
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请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：
∠P=
1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
∠P=
1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
．
我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：
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教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．

（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
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