Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.

(1)若A，E，O三点共线，求CF的长；

(2)求△CDF的面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1)CF=3；(2).

【解析】

（1）由正方形的性质可得AB=BC=AD=CD=2，根据勾股定理可求AO=5，即AE=3，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°，根据“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE=CF=3；

（2）由△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，当OE⊥AD时，S△ADE的值最小，即可求△CDF的面积的最小值．

(1)由旋转得：，，

∵是边的中点，

∴，

在中，，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，

过点作于点，

∵，

∴，

当，，三点共线，最小，，

∴.