Question

如图12，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.

（1）求证：△ADE≌△DCF；

（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；

（3）连接AQ，设S_△CEQ=S₁，S_△AED=S₂，S_△EAQ=S₃，在（2）的条件下，判断S₁+S₂=S₃是否成立？并说明理由．

Answer 1

（1）由AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF得△ADE≌△DCF …………………2分

(2)易证△ADE∽△ECQ   所以   …………………………………………………4分

因为   所以   即点Q是CF中点……………………………6分

（3）成立……………………………………………………………………………7分

理由：因为△ADE∽△ECQ   所以, 所以,  

因为∠C=∠AEQ=90°， 所以△AEQ∽△ECQ， 所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE   ………8分

所以   ，    …………………………………………………………9分

所以  …………………………………………………10分

由， 所以    即 …………………………………11分