题目内容
（2009•赤峰）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，
），B（
，
），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，
），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式．
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上．
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）设抛物线解析式，因点B在抛物线上面，代入求出抛物线解析式；
（2）△ABC沿AC折叠，要用到点的对称，得到B′的坐标然后验证是否在抛物线上；
（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据B、A坐标解出直线BA的解析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+
，（1分）
∵B（
，
）在抛物线上，
∴把B（
，
）代入y=ax2+
得a=
．（3分）
∴抛物线解析式为y=
x2+
．（5分）
（2）∵点B（
，
），A（0，
），
∴CB=
，
∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA=
=2
∴AB=
=1
∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四边形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=
，OC=1，
∴B'点的坐标为（1，
）．（9分）
∵当x=1时，代入y=
x2+
得y=
，
∴B'（1，
）在抛物线上．（10分）
（3）存在．（11分）
理由是：设BA的解析式为y=kx+b，
∴
∴
∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，
∴设P（m，
m+
），F（m，
m2+
）
PF=（
m+
）-（
m2+
），AD=
-
=
如果PF=AD，则有
=（
m+
）-（
m2+
）=
解得m1=0（不符合题意舍去），m2=
．
∴当m=
时，PF=AD，
存在四边形ADFP是平行四边形．（13分）
当m=
时，
m+
=
，
∴P点的坐标是（
，
）．（14分）
点评：考查待定系数求抛物线解析式，折叠图形的对称问题，辅助线的作法也很独特，考查的知识点很全面，是一道综合性题型．
（2）△ABC沿AC折叠，要用到点的对称，得到B′的坐标然后验证是否在抛物线上；
（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据B、A坐标解出直线BA的解析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+，（1分）∵B（
，）在抛物线上，∴把B（
，）代入y=ax2+得a=
．（3分）∴抛物线解析式为y=
x2+．（5分）（2）∵点B（
，），A（0，），∴CB=
，∴CB'=CB=OA．（6分）
又CA=
=2∴AB=
=1∴AB'=AB=OC．（7分）
∴四边形AOCB'是矩形．（8分）
∵CB'=
，OC=1，∴B'点的坐标为（1，
）．（9分）∵当x=1时，代入y=
x2+得y=，∴B'（1，
）在抛物线上．（10分）（3）存在．（11分）
理由是：设BA的解析式为y=kx+b，
∴
∴
∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，
∴设P（m，
m+），F（m，m2+）PF=（
m+）-（m2+），AD=-=如果PF=AD，则有
=（
m+）-（m2+）=解得m1=0（不符合题意舍去），m2=
．∴当m=
时，PF=AD，存在四边形ADFP是平行四边形．（13分）
当m=
时，m+=，∴P点的坐标是（
，）．（14分）点评：考查待定系数求抛物线解析式，折叠图形的对称问题，辅助线的作法也很独特，考查的知识点很全面，是一道综合性题型．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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，
），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，
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，0）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点P，连接PO，再将PO绕点O按顺时针方向旋转120°，则PO在旋转过程中扫过的扇形面积为 ．（结果保留π）
