题目内容
【题目】如图,抛物线
的对称轴为直线x=2,且抛物线经过A(1,0),C(0,5)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B. C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
(3)在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作Q，使得Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大Q?若存在，请直接写出最大Q的半径；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 
(2) P的坐标为(3,8)或(-2,7)； (3)
【解析】
（1）根据对称轴及A点坐标得出B点坐标，从而得出直线BC解析式，再由A、B、C三点坐标得出抛物线解析式；
（2）分别过B、C两点作BC的垂线，得出垂线的解析式，与抛物线解析式联立解出P点；
（3）平移BC到与抛物线刚好相切之处，此时的切点即为Q点，此时Q点距BC的距离最大，也就是半径最大．运用等面积法进行处理．设切线与y轴的交点为H，则△HBC与△QBC的面积相等，算出面积，再以BC为底，算出BC边上的高即为答案．
(1)∵对称轴为x=2,且抛物线经过A(1,0)，
∴B(5,0).
把B(5,0),C(0,5)分别代入y=mx+n得
,解得：
，
∴直线BC的解析式为y=x5.
设y=a(x5)(x+1)，把点C的坐标代入得：5a=5，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：.
（2）①过点C作
,交抛物线于点
，如图，
则直线
的解析式为y=x5,
由
,解得：
(舍去), 
，
∴ (3,8)；
②过点B作
,交抛物线于
，如图，
则
的解析式为y=x+5，
由
,解得：
(舍去), 
，
∴ (-2,7)；
∴P的坐标为(3,8)或(-2,7)；
（3）由题意可知,Q点距离BC最远时,半径最大.平移直线BC,使其与抛物线只有一个公共点Q(即相切)，设平移后的直线解析式为y=x+t，
由
,消去y整理得
，
△=
,解得
，
∴平移后与抛物线相切时的直线解析式为
,且Q
，
连接QC、QB，作QE⊥BC于E，如图，
设直线与y轴的交点为H，连接HB，
则S△HBC=
BOCH，
∵CH=5(
)=
，
∴S△HBC=×5×=
，
∴S△QBC=S△HBC=，
∵S△QBC=BCQE, BC=
，
∴QE=，
即最大半径为.
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