Question

已知：抛物线y=ax²+（1-a）x+（5-2a）与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）当抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）当线段OB与线段OC长度相等时，在抛物线的对称轴上取一点P，以点P为圆心作圆，使它与x轴和直线BD都相切，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据根与系数的关系，表示出OA、OB、OC的长，然后根据tan∠CAO-tan∠CBO=2即可得出关于a的方程，进而可求出a的值和抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可求出顶点D的坐标．
（2）本题可先设出P点的坐标，P点的横坐标为抛物线的对称轴的值，纵坐标的绝对值就是圆的半径，连接PF后可根据相似三角形DPF和DEB求出圆的半径的长，也就能求出P点的坐标．

解答：解：（1）设A（x₁，0）、B（x₂，0）
依题意：x₁＜0，x₂＞0
并且x₁、x₂是关于x的方程ax²+（1-a）x+（5-2a）=0的两个实数根
∴△=（1-a）²-4a（5-2a）=9a²-22a+1＞0，x₁+x₂=

a-1

a

，
x₁x₂=

5-2a

a

＜0
①当点C在y轴正半轴上时，
∵C（0，5-2a）
∴OC=5-2a＞0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2 tan∠CAO=

OC

AO

，tan∠CBO=

OC

OB

∴

OC

AO

-

OC

OB

=2
∵AO=-x₁，OB=x₂
∴

5-2a

-x1

-

5-2a

x2

=2
∴

(5-2a)(x1+x2)

-x1x2

=2
∴

(5-2a)(1-a)

5-2a

=2
解得：a=-1
当a=-1时符合题意
∴y=-x²+2x+7，即顶点D（1，8）
②当点C在y轴负半轴上时，
∵C（0，5-2a）
∴CO=2a-5＞0
∵tan∠CAO-tan∠CBO=2tan∠CAO=

CO

AO

，tan∠CBO=

CO

OB

∴

CO

AO

-

CO

OB

=2
∵AO=-x₁，OB=x₂
∴

2a-5

-x1

-

2a-5

x2

=2
∴

(2a-5)(x1+x2)

-x1x2

=2
∴

(2a-5)(1-a)

5-2a

=2
解得：a=3
当a=3时符合题意
∴y=3x²-2x-1，顶点D（

1

3

，-

4

3

）
综上所述，抛物线的解析式为y=-x²+2x+7或y=3x²-2x-1，相应顶点D的坐标为（1，8）或（

1

3

，-

4

3

）

（2）当抛物线的解析式为y=-x²+2x+7时，B（1+2

2

，0），C（0，7），OB＜OC，不合题意；
当抛物线的解析式为y=3x²-2x-1时，B（1，0），C（0，-1），OB=CO
∴抛物线y=3x²-2x-1符合题意（6分）
作PE⊥x轴于点E，PF⊥BD于点F．
设点P的坐标为（

1

3

，m）
顶点D(

1

3

，-

4

3

)，DB=

2 5

3

，EB=

2

3

∵⊙P与x轴、直线BD都相切
∴线段EP与线段FP长度相等
∵∠PDF=∠BDE，∠DFP=∠DEB
∴△DPF∽△DBE
∴

DP

DB

=

FP

EB

①当点P在第一象限时，m＞0
∴

m+ 4 3

2 5 3

=

m

2 3

∴m=

1+ 5

3

∴P（

1

3

，

1+ 5

3

）
②当点P在第四象限时，点P一定在线段DE上，-

4

3

＜m＜0
∴

m+ 4 3

2 5 3

=

m

2 3

∴m=

1- 5

3

∴P（

1

3

，

1- 5

3

）
∴点P的坐标为P（

1

3

，

1+ 5

3

）或P（

1

3

，

1- 5

3

）．

点评：本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、切线的性质、三角形相似等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．