题目内容

已知：抛物线 $数学公式$ ，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为 $数学公式$ ，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．

（1）证明：令y=0，则有x²-（a+b）x+ $\text{[math]}$ =0，
∴△=（a+b）²-c²，
由于a、b、c分别是△ABC的三边，
∴a+b＞c＞0，
∴（a+b）²＞c²，
∴△＞0，
因此抛物线总与x轴有两个交点．

（2）证明：由题意知：x= $\text{[math]}$ =a，因此a=b．
设E点的横坐标为m，F点的横坐标为n，
联立抛物线和直线y=ax-bc可得：x²-2ax+ $\text{[math]}$ =ax-ac，
即x²-3ax+ $\text{[math]}$ =0，
∴m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$
由题意可知：m=5n；
即3a+ $\text{[math]}$ =15a-5 $\text{[math]}$
即5a²-4ac-c²=0，
解得a=- $\text{[math]}$ （不合题意舍去），a=c，
因此a=b=c，△ABC为等边三角形；

（3）解：存在过P、Q两点且与y轴相切的圆，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，设边长为m，则边上的高为 $\text{[math]}$ m，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ m²= $\text{[math]}$ ，即m²=4，解得m=2，

则a=b=c=2，抛物线解析式为y=x²-4x+1，
令y=0，得到x²-4x+1=0，解得x₁=2- $\text{[math]}$ ，x₂=2+ $\text{[math]}$ ，
∴P（2- $\text{[math]}$ ，0），Q（2+ $\text{[math]}$ ，0），PQ=2 $\text{[math]}$ ，
∵HJ⊥PQ，∴PJ=QJ= $\text{[math]}$ PQ= $\text{[math]}$ ，
∵P与Q关于抛物线的对称轴x=2对称，且过P和Q的圆与y轴相切于I，
∴HI=2，即圆的半径为2，则HP=2，
在Rt△PHJ中，根据勾股定理得：HJ²=PH²-PJ²，
即HJ= $\text{[math]}$ =1，
则圆心H坐标为（2，1）或（2，-1）．
分析：（1）令y=0，用根的判别式和三角形三边关系即可证得；
（2）先根据抛物线的对称轴求出a、b的关系．然后联立抛物线与直线l的解析式，求出E、F的横坐标，已知△MNE的面积是△MNF的面积的5倍，根据等底三角形的面积比等于高的比，由此可得出E的横坐标是F的横坐标的5倍，由此可求出a、c的关系，由此可求出三角形ABC的形状为等边三角形，得证；
（3）由（2）得到三角形ABC为等边三角形，根据面积求出等边三角形的边长，即可得到三角形ABC的边长，即得到a=b=c的值，代入确定出抛物线解析式，令解析式中的y=0，求出x的值，即可得到P和Q的横坐标，确定出两点的坐标，即可求出PQ的长，设圆H为满足题意的圆，根据P与Q关于对称轴对称，得到HJ垂直于PQ，根据垂径定理得到J为PQ中点，即可求出PJ的长，又圆心H在x=2上，且圆H与y轴相切，得到圆心H的横坐标为2，且圆H的半径为2，即HP=2，在直角三角形HPJ中，根据勾股定理求出HJ的长，即为圆心H的纵坐标，写出圆心H坐标即可．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理、函数图象交点、垂径定理，直线与圆相切的性质等知识点；本题有一定的难度，综合性较强，常综合多个考点和数学思想方法，因而解答时需“分解题意”，即将一个大问题分解为一个一个小问题，从而解决问题．本题第三问根据等边三角形ABC的面积求出边长，从而得到a，b及c的值，确定出抛物线的解析式是解题的突破点．