Question

【题目】如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．

（1）直接写出＝　 ；

（2）将图1中的△BDE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连接AE，P为AE的中点，连接PD，PC，探究线段PD与PC之间的关系；

（3）将图1中的△BDE绕点B顺时针旋转，使点D落在线段BC上，连接AE，P为AE中点，连接PD．如图3，若AB＝2，请直接写出PD的长为　 ．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）PC＝PD，PD⊥PC．理由见解析；（3）PD＝．

【解析】

（1）证明∠DBC＝30°，推出BC＝2CD即可解决问题．

（2）结论PC＝PD，PD⊥PC．如图2中，延长DP到M使得PM＝PD，连接AM，CD，CM．证明△DBC≌△MAC（SAS），推出△DCM是等边三角形，即可解决问题．

（3）如图3中，连接PC，求出CD，利用（2）中结论解决问题即可．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴BD⊥AC，∠ABD＝∠DBC＝30°，∠ACB＝60°，

∴BC＝2CD，

∵CD＝CE，

∴BC＝2EC，

∴＝2．

故答案为2．

（2）解：结论PC＝PD，PD⊥PC．

理由：如图2中，延长DP到M使得PM＝PD，连接AM，CD，CM．

∵EP＝PA，∠EPD＝∠APM，PD＝PM，

∴△EPD≌△APM（SAS），

∴DE＝AM，∠DEP＝∠PAM，

∵∠DBC+∠ACB+∠CAE+∠AED+∠EDB＝540°，

∴∠DBC+∠CAE+∠AED＝540°﹣120°﹣60°＝360°，

∵∠CAM+∠CAE+∠MAP＝360°，

∴∠CBD＝∠CAM，

∵DE＝DB＝AM，CB＝CA，

∴△DBC≌△MAC（SAS），

∴CD＝CM，∠DCB＝∠MAC，

∴∠MCD＝∠ACB＝60°，

∴△DCM是等边三角形，

∵DP＝PM，

∴PC＝PD，PC⊥PD．

（3）解：①如图3中，连接PC．

由题意AB＝BC＝AC＝2，BD＝3

∴CD＝BC﹣BD＝2﹣3，

由（2）可知∠CPD＝90°，∠PCD＝30°，

∴PD＝CD＝﹣．

故答案为﹣．