Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．

①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．

当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x²﹣2x+3；（2）①点P（，）时，△PDE的周长最大；②当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．

【解析】

试题分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解 答即可； （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标； ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，

解得，

所以，抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3；

（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，

易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立，

消掉y得，x²+3x+m﹣3=0，

当△=3²﹣4×1×（m﹣3）=0，

即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=，y=+=，

∴点P（，）时，△PDE的周长最大；

②抛物线y=﹣x²﹣2x+3的对称轴为直线x=，

（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，

∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF和△MPQ中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS），

∴PF=PQ，

设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，

即PF=﹣1﹣n，

∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），

∵点P在抛物线y=﹣x²﹣2x+3上，

∴﹣n²﹣2n+3=﹣1﹣n，

整理得，n²+n﹣4=0，

解得n₁=（舍去），n₂=，

﹣1﹣n=﹣1﹣=，

所以，点P的坐标为（，）；

（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，

∴∠FPA=∠QAN，

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，

∴△APF≌△NAQ，

∴PF=AQ，

设点P坐标为P（x，﹣x²﹣2x+3），

则有﹣x²﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，

解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，

此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．

综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．

考点：二次函数综合题．