Question

已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0）与⊙C切于D点．
（1）求直线l的解析式；
（2）在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）如图①，设直线l的解析式是y=kx+b，
连接DC，则∠ADC=90°，DC=1，AC=2，
∵△DOC为等边三角形，
∴∠DAC=30°；
设l与y轴的交点为B（0，y），则y=OAtan30°=．
由B（0，），A（-1，0）；
用待定系数法求得直线的解析式是y=x+，
或设D（x₀，y₀），作DM⊥x轴于M，
在Rt△ADC中：AD=
y₀=AD=，AM=AD•cos30°=，
x₀=-1=，
由D（，）与S（-1，0），
用待定系数法求解直线的解析式是：y=x+

（2）方法一：如图①．
①∵B在AC的垂直平分线上，∴△ABC为等腰三角形，
∴B即为所求的一个点P，即P₁（0，）
②设P₂（x₂，y₂）在直线l上，∵△CAP₂为等腰三角形，
∴作P₂G⊥x轴于G．在Rt△AGP₂中，∵∠GAP₂=30°，∴P₂G=AP₂=1
∴AG=，∴P₂（--1，-1）
③设P₃（x₃，y₃）在直线l上，∵△CAP₃为等腰三角形，∴P₃A=AC．
作P₃F=P₃A=1，AF=P₃Fcot30°=．∴P₃（-1，1）
④设P₄（x₄，y₄）在直线l上，连P₄C，
∵△CAP₄为等腰三角形，
∴P₄C=CA=2；
作P₄E’⊥x轴于E’，可证E’和E重合．
在Rt△P₄CE中，P₄C=2∠P₄CE=60°，
∴CE=P₄C=1，P₄E=，
∴P₄（2，），
∴所求的点P有4个，坐标分别是（0，），（--1，1），，（2，）
方法二：如图②
设P₂（x₂，y₂）在l上，
∴P₂满足l的解析式，
则P₂（x₂，x₂+），且△CAP₂为等腰三角形，
∴P₂C=AC=2，
作P₂E’⊥x轴于E’，可证E’和E重合，在Rt△P₂CE中，
（x₂-1）²+[（x₂+1）]²=2²，
解之，得x₂=2或x₂=-1；
而x₂=-1不合题意，舍去，
∴P₂（2，）．
③设P₃（x₃，y₃）在l上，
∴P₃满足l的解析式．则P₃（x₃，x₃+），
且△CAP₃为等腰三角形，∴P₃A=AC=2；
作P₃F⊥x轴于F．在Rt△P₃FA中，（-1-x₃）²+[（x₃+1）]²=2²，
（x₃+1）²+（x₃+1）²=4；
解之，得x₃=-1，或x₃=--1，
∴满足△CAP₃为等腰三角形的点P₃有两个，
即P₃（-1，1）或（--1，-1）；
∴所求的点P有4个，坐标分别是（0，），（2，），（-1，1），（--1，-1）．
分析：（1）根据题意，设直线l的解析式是y=kx+b，由三角形的有关性质可得A、B的坐标，用待定系数法容易求得直线的解析式，
（2）根据题意，B在AC的垂直平分线上，故△ABC为等腰三角形，由等腰三角形的性质，易得答案．
点评：此题把一次函数与三角形、圆相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目，有一定的难度．