题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到的三角形为 ，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
【答案】（1）①△ACF，垂直，相等
②结论是否仍然成立，理由见解析
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BC,理由见解析
【解析】
试题分析：解题的关键是过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，构造全等三角形.（1）①当点D在线段BC上时，根据等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，即可得出CF=BD，BD⊥CF；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD，结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①中的方法可得CF⊥BD．
解：（1）①如图2所示，将△ABD绕A点逆时针旋转90°，所得到△ACF，则
由旋转的性质可得：∠ACF=∠B，CF=BD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°=∠ACF，
∴∠BCF=90°，即BD⊥CF；
故答案为：△ACF，垂直，相等；
②如图3所示，当点D在BC的延长线上时，①中的结论仍成立．
证明：由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD；
（2）如图4所示，当∠ACB=45°时，CF⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠AGC，
∴AC=AG，
又∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
