Question

求所有的正整数对（a，b），使得ab²+b+7整除a²b+a+b．

Answer 1

分析：根据已知，将式子变形a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，可得出ab²+b+7|b²-7a，再根据b²-7a的符号分类讨论，求出a、b的对应值．

解答：解：由条件ab²+b+7整除a²b+a+b，
显然ab²+b+7|a²b²+ab+b²，
而a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，故ab²+b+7|b²-7a，
下面分三种情况讨论；
情形一：b²-7a＞0；这时b²-7a＜b²＜ab²+b+7，矛盾；
情形二：b²=7a，此时a，b应具有a=7k²，b=7k，k是正整数的形式，显然（a，b）=（7k²，7k）满足条件；
情形二：b²-7a＜0，这时由7a-b²≥ab²+b+7，则b²＜7，
进而b=1或2，当b=1时，则条件

a2+a+1

a+8

=a-7+

57

a+8

为正整数，
57能被a+8整除，可知a+8=19或57，进而知a=11或49，
解得（a，b）=（11，1）或（49，1）；
当b=2时，由

7a-4

4a+9

（＜2）为正整数，可知

7a-4

4a+9

=1，此时a=

13

3

，矛盾；
综上，所有解为（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k²，7k）（k是正整数）．

点评：本题考查了数的整除性，分类讨论的思想．关键是将原题的整除问题进行转化，分类求解．