题目内容

（2013•和平区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2经过点A（2，3），B（6，1）．
（Ⅰ）求此抛物线的解析式，Ⅰ把解析式化为顶点式；
（Ⅱ）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？
分析：（1）把点A（2，3），B（6，1）代入抛物线，求出解析式即可；
（2）设点P（
7
2
，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′、C′，利用相似三角形的进一步解决问题；
（3）首先求出直线BC的解析式，确定D点的位置，再进一步计算探讨即可．
解答：解：（1）把点A（2，3），B（6，1）代入抛物线y=ax2+bx-2得
4a+2b-2=3
36a+6b-2=1
，
解得a=
1
2
，b=
7
2
，
此抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+
7
2
x-2=-
1
2
（x-
7
2
）2+
33
8
；

（2）如图

设点P（
7
2
，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得
AA′
PC′
=
A′P
CC′

即
7
2
-2
m+2
=
3-m
7
2

解得m1=
3
2
，m2=-
1
2
，
P（
7
2
，
3
2
 ）或（
7
2
，-
1
2
）；

（3）如图

由B（6，1），C（0，-2），
得直线BC的解析式为y=
1
2
x-2，
∴D（4，0），
当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
此时S=
1
2
×4×2+
1
2
×4×
33
8
=
49
4
，
∵S△BOC=
1
2
×2×6=6，
∴当6＜S＜
49
4
 时，满足条件的点E有两个．
点评：此题考查了根据已知条件求抛物线解析式，一次函数，相似三角形等知识解题．
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1
3
1
3
．

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