Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O恰好经过A、C两点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）如果CF=2，CP=3，求⊙O的直径EC．

Answer 1

分析：（1）若要证明AB是⊙O的切线，则可连接AO，再证明AO⊥AB即可．
（2）连接OP，设OG为x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出CG的长，即可表示出半径OC和OP的长，在直角三角形CGP中利用勾股定理表示出PG的长，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后求出直径即可．

解答：（1）证明：连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，
∵AO=CO，
∴∠0AC=∠OCA=30°，
∴∠BAO=120°-30°=90°，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OP，
∵PF⊥BC，
∴∠FGC=∠EGP=90°，
∵CF=2，∠FCG=30°，
∴FG=1，
∴在Rt△FGC中 CG=

CF 2-FG 2

=

2 2-  1 2

=

3

．
∵CP=3．
∴Rt△GPC中，PG=

PC 2-CG 2

=

3 2- 3 2

=

6

．
设OG=x，则OP=OC=x+

3

，
在直角△OPG中，根据勾股定理得：
OP²=OG²+PG²，即(x+

3

)2=x²+(

6

)2
解得x=

3

2

．
∴⊙O的直径EC=EG+CG=2x+

3

+

3

=3

3

．

点评：本题考查了圆的切线的判定和相似三角形的判定既性质，常用的切线的判定方法是连接圆心和某一点再证垂直；常用的相似判三角形的判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的相似性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方．