Question

如图，正方形AOCB在平面直角坐标系中，点O为原点，点B在反比例函数（＞）图象上，△BOC的面积为．

（1）求反比例函数的关系式；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？
（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形AOCB为正方形 ，∴AB=BC=OC=OA。
设点B坐标为（，），
∵，∴，解得。
又∵点B在第一象限，∴点B坐标为（4，4）。
将点B（4，4）代入得，
∴反比例函数解析式为。
（2）∵运动时间为t，动点E的速度为每秒1个单位，点F 的速度为每秒2个单位，
∴AE=t， BF。
∵AB=4，∴BE=。
∴。
∴S关于t的函数关系式为；当时，△BEF的面积最大。
（3）存在。
当时，点E的坐标为（，4），点F的坐标为（4，），
①作F点关于轴的对称点F₁，得F₁（4，），经过点E、F₁作直线，
由E，4），F₁（4，）可得直线EF₁的解析式是，
当时，，∴P点的坐标为（，0）。
②作E点关于轴的对称点E₁，得E₁（，4），经过点E₁、F作直线，
由E₁（，4），F（4，）可得直线E₁F的解析式是，
当时，，∴P点的坐标为（0，）。
综上所述，P点的坐标分别为（，0）或（0，）。

解析试题分析：（1）根据正方形的性质和△BOC的面积为，列式求出点B的坐标，代入，即可求得k，从而求得反比例函数的关系式。
（2）根据双动点的运动时间和速度表示出BF和BE，即可求得S关于t的函数关系式，化为顶点式即可根据二次函数的最值原理求得△BEF的面积最大时t的值。
（3）根据轴对称的原理，分F点关于轴的对称点F₁和E点关于轴的对称点E₁两种情况讨论。