Question

【题目】如图，已知直线与相离，于点，,与相交于点，与相切于点，的延长线交直线于点.

（1）试判断线段与的数量关系，并说明理由；

（2）若，求的半径和线段的长；

（3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），理由详见解析；（2）的半径为3，线段的长为；（3）.

【解析】

（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=（）2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可；
（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．

解：（1），理由如下：

连接.

∵切于，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）延长交于，连接，

设圆半径为，则，，

则，

，

∴，

解得：，

∴，

∵是直径，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

解得：.

∴的半径为3，线段的长为；

（3）作出线段的垂直平分线，作，

则可以推出

又∵圆与直线有交点，

∴，

，

，

，

∴，

又∵圆与直线相离，

∴，

即.