Question

已知正方形ABCD，AC、BD交于O点，将一个三角板的直角顶点与O重合，它的两条直角边分别与AB、BC相交于点E、F．
（1）当三角板绕点O旋转到OE与AB垂直时（如图1），求证：BE+BF=OB．
（2）当三角板在（1）的条件下绕点O逆时针旋转a°（0°＜a＜45°）时，如图2，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，O为对角线AC、BD的交点，
∴OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，BC==OB．
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFC=90°，∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=OB．

（2）BE+BF=OB仍然成立．
证明：∵∠EOB+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°
∴∠EOB=∠COF，
又∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
∴在△BOE和△COF中

∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=OB．
分析：（1）根据正方形性质得出OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，根据勾股定理求出BC=OB，证△BOE≌△COF，推出BE=CF即可；
（2）根据正方形性质得出OB=OC，∠EBO=∠OCF=45°，OB⊥OC，根据勾股定理求出BC=OB，证△BOE≌△COF，推出BE=CF即可．
点评：本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理的应用，关键是推出△BOE≌△COF，证明过程类似．