Question

已知：a²-b²=（a-b）（a+b）；a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）；a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）；a⁵-b⁵=（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）按此规律，则：
（1）a⁶-b⁶=（a-b）

（a-b）（a⁵+a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴+b⁵）

；
（2）若a-

1

a

=3，请你根据上述规律求出代数式a3-

1

a3

的值．

Answer 1

分析：（1）根据规律，在式子中，a的指数由高到低，b的指数由低到高．
（2）将a和

1

a

分别看作一个数，代入a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）即可计算．

解答：解：（1）根据规律可知，a⁶-b⁶=（a-b）（a⁵+a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴+b⁵）；

（2）a3-

1

a3

=（a-

1

a

）（a²+a•

1

a

+

1

a2

）
=（a-

1

a

）（a²+a•

1

a

+

1

a2

）
=（a-

1

a

）（a²+

1

a2

+1）
=（a-

1

a

）（a²+

1

a2

+2a•

1

a

-2a•

1

a

+1）
=（a-

1

a

）[（a²+

1

a2

-2a•

1

a

）+2+1]
=（a-

1

a

）[（a-

1

a

）²+3]
=3×（3²+3）
=3×12
=36．

点评：本题考查了平方差公式，观察式子特点、找出规律是解题的关键．