Question

如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=6，O为AB的中点，且以O为圆心的半圆与AC，BC分别相切于点D，E；
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连结OD，OC，利用等腰三角形的性质和直角三角形30°角所对的直角边为斜边的一半即可求出半圆的半径；
（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：AC²-OC²=AO²，解方程可求出x的值，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积-半圆的面积计算即可．

解答：（1）解：连结OD，OC，
∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E．
∴OD⊥AC．
∵AC=BC，且O是AB的中点．
∴CO⊥AB，
∴AO=

1

2

AB=3
∵∠C=120°，
∴∠DCO=60°．
∴∠A=30°．
∴在Rt△AOD中，OD=

1

2

AO=

3

2

，
即半圆的半径为

3

2

；
（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：
AC²-OC²=AO²，即（2x）²-x²=9，
解得   x=

3

（x=-

3

舍去）
S=

1

2

×6×

3

-

1

2

×π×（

3

2

）²=3

3

-

9

8

π
∴阴影部分的面积为3

3

-

9

8

π．

点评：此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理的运用以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．