Question

如图，将边长为8

3

的正方形OEFP置于直角坐标系中，OE、OP分别与x轴、y轴的正半轴重合．
（1）直接写出正方形OEFP的周长；
（2）等边△ABC的边长为2

3

，顶点A与坐标原点O重合，BC⊥x轴于点D，△ABC从点O出发，以每秒1个单位长的速度先向右平移，当BC边与直线EF重合时，继续以同样的速度向上平移，当点C与点F重合时，△ABC停止移动．设运动时间为t秒，△PAC的面积为y．①在△ABC向右平移的过程中，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②当t为何值时，P、A、B三点在同一直线上（精确到0.1秒）．

Answer 1

分析：（1）正方形的周长等于边长的4倍，即为32

3

；
（2）①连接PC，根据已知条件求出三角形ACD的面积，再用含有t的代数式分别表示出三角形POA和梯形POCD的面积，利用y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，即可求出y与t的函数关系式；
②当P、A、B在同一直线上时（如图所示），则Rt△PBF中，∠PBF=60°，取PB的中点G，连接GF，则GF=PG=GB，则三角形BGF为等边三角形，利用勾股定理求出PB、BF的值即可求出时间t．

解答：解：（1）∵边长为8

3

的正方形OEFP置于直角坐标系中，OE、OP分别与x轴、y轴的正半轴重合．
∴正方形OEFP的周长为：4×8

3

=32

3

；

（2）①连接PC，
∵等边△ABC的边长为2

3

，顶点A与坐标原点O重合，BC⊥x轴于点D，
∴AD=3，CD=

3

，PA=8

3

，
y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC=

3

2

t+12

3

，
0≤t≤8

3

-3；
②当A在OE上，∠BAE=∠PAO＞45°，∠BAC＞90°，不存在，
当P、A、B在同一直线上时（如图所示），Rt△PBF中，∠PBF=60°，
取PB的中点G，连接GF，则GF=PG=GB，
∴△BGF是等边三角形∴BF=0.5PB，
根据勾股定理可得：PB=16，BF=8，
又∵AD=3，
∴t=8

3

-3+8

3

-8+

3

=17

3

-11，
≈18.4（秒）．

点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理的运用和分类讨论思想，题目综合性很强具有一定的难度．