Question

填表解题：

方程	两根x1，x2	x1+x2=	x1x2=
x2+2x+1=0
x2-3x-4=0
x2+4x-7=0

上表你能猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的两根则x₁+x₂=

-

b

a

，x₁x₂₌

c

a

利用你的猜想解下列问题：
（1）若x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两根求，x₁²+x₂²和（x₁+2）（x₂+2）的值．
（2）已知2+

3

是方程x²-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．

Answer 1

分析：利用因式分解法和求根公式解方程x²+2x+1=0，x²-3x-4=0，x²+4x-7=0，然后填表，根据表中的数据猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的两根则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂₌

c

a

；
（1）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，然后变形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4，再把x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3整体代入计算即可；
（2）设方程的另一个根为x₂，根据根与系数的关系得到2+

3

+x₂=4，（2+

3

）•x₂=c，先求出x₂，然后计算c的值．

解答：解：表中从左至右为：x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
x₁=4，x₂=-1，x₁+x₂=-3，x₁•x₂=4；
x₁=-2+

11

，x₂=-2-

11

，x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-7；
故答案为-

b

a

，

c

a

；
（1）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2²-2×（-3）=4+6=10；
（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4=-3+4+4=5；
（3）设方程的另一个根为x₂，
∵2+

3

+x₂=4，
∴x₂=2-

3

；
由∵（2+

3

）•x₂=c，
∴c=（2+

3

）（2-

3

）=4-3=1，
所以方程的另一个根为2-

3

，c的值为1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．