Question

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。

⑴ 求证：PC·PD=PO·PE；

⑵ 若DE⊥CF，∠P=15⁰，⊙O的半径为2，求弦CF的长

 

Answer 1

 

（1）证明略

（2）

解析:(1) 证明：连结DO，

∵直径AB⊥DF，   ∴ AD=AF

             ∴∠DOA=∠DCF

             ∵∠DOP+∠DOA=180^O     ，

∠PCE+∠DCF=180^O  

     ∴ ∠DOP=∠ECP……（2分）

             ∵∠P=∠P

          ∴ΔPOD∽ΔPCE 

     ∴   即PC·PD=PO·PE……（2分）

（2）解：∵直径AB⊥DF，∴ DH=FH   ∴ ED=EF

       ∴ EH平分∠DEF

       ∵ DE⊥CF  ∴ ∠DEC=∠DEF=90^O

       ∴ ∠FEH=45^O   ∠CEP=45^O

       ∵ ∠DCE=∠P+∠CEP=15^O+45^O=60^O

       ∴ ∠DOH=60^O　　　　　　　　　　……（2分）

       在RtΔDOH中，由sin60^O=

       ∴ DH=       ∴ DH=

       ∵    ∴

       ∴ 　　　　　　　……（2分）

       在RtΔDCF中，由

　　　　∴　

　　　　∴　　……（1分）