题目内容
【题目】如图，在
中，
，
，DF是的中位线，点C关于DF的对称点为E，以DE，EF为邻边构造矩形DEFG，DG交BC于点H，连结CG．
求证：
≌
．
若
．
求CG的长．
在的边上取一点P，在矩形DEFG的边上取一点Q，若以P，Q，C，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的平行四边形的面积．
在
内取一点O，使四边形AOHD是平行四边形，连结OA，OB，OC，直接写出
，
，
的面积之比．
【答案】（1）证明见解析；（2）①1；②
或
或
．（3）
：3：1．
【解析】
根据矩形的性质、翻折不变性利用HL即可证明；
想办法证明
即可解决问题；
共三种情形画出图形，分别解决问题即可；
如图5中，连接OD、OE、OB、
首先证明四边形DOHC是矩形，求出OD、OH、OE即可解决问题.
如图1中，
四边形DEFG是矩形，
，
，
由翻折不变性可知：
，
，
，
，
，
≌
，
如图1中，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图2中，当点P与A重合，点Q与E重合时，四边形PQGC是平行四边形，此时
如图3中，当四边形QPGC是平行四边形时，．
如图4中，当四边形PQCG是平行四边形时，作
于M，CE交DF于N．
易知
，
，
如图
中，当四边形PQCG是平行四边形时，
，
综上所述，满足条件的平行四边形的面积为或或．
如图5中，连接OD、OE、OB、OC．
四边形AOHD是平行四边形，
，
，
四边形CDOH是平行四边形，
，
四边形CDOH是矩形，
，
≌
，
，
，
，
，
，
，
，
：
：
：
：
：3：1．
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