Question

已知双曲线y=

k

x

与抛物线y=-

1

3

x2+bx+c交于A（2，3）、B（m，2）三点．
（1）求双曲线与抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中描出点A、点B，并求出△ABO的面积．

Answer 1

分析：（1）直接把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可求出k与m，从而确定反比例解析式和B点坐标，然后把A、B两点坐标代入二次函数解析式得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；
（2）利用S_△OAB=S_△OAC+S_梯形ABDC-S_△OBD进行计算．

解答：解：（1）把A（2，3）和B（m，2）代入y=

k

x

得k=2×3=m×2，
解得k=6，m=3，
所以反比例函数解析式为y=

6

x

；
把A（2，3）和B（3，2）代入y=-

1

3

x²+bx+c得

- 4 3 +2b+c=3 -3+3b+c=2

，解得

b= 2 3 c=3

，
所以抛物线的解析式入y=-

1

3

x²+

2

3

x+3；

（2）作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，
S_△OAB=S_△OAC+S_梯形ABDC-S_△OBD
=

1

2

×2×3+

1

2

×（2+3）×1-

1

2

×3×2
=

5

2

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．