题目内容

如图，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0）、（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发、以每秒1个单位的速度运动，点M沿OA向点A运动，点N沿BC向点C运动，已知动点运动了t秒．过点M作MP⊥x轴，交AC于P，精英家教网连接NP．
①直接写出直线AC的解析式和点P的坐标（用含t的代数式表示）；
②当t为何值时，△CPN的面积取得最大值？并求出△CPN面积的最大值；
③当t为何值时，△CPN是一个等腰三角形？
分析：（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解直线的解析式，根据PM∥OC，利用相似三角形对应边成比例求出PM的长度，即可得到P点的坐标；
（2）CN的长可根据CN=BC-BN来求得，然后利用点P的坐标求出点P到BC的距离，再根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式，然后再利用二次函数的最值问题求解；
（3）本题要分类讨论：
①当CP=CN时，可在Rt△CPQ中，用CQ的长即t和∠ACB的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出t的值；
②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在Rt△CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN-CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出t的值．
③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在Rt△PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出t的值．
解答：解：（1）由题意可知，C（0，8），M（t，0），N（6-t，8），
设直线AC的解析式是：y=kx+b，
则
b=8
6k+b=0
，
解得
k= -
4
3
b=8
，
∴直线AC的解析式是：y=-
4
3
x+8，
∵MP⊥x轴，
∴PM∥OC，
∴△APM∽△ACO，
∴
PM
OC
=
AM
OA
，
即
PM
8
=
6-t
6
，
解得PM=
4
3
（6-t）=8-
4
3
t，
∴P点坐标为（t，8-
4
3
t）；

（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=BC-BN=6-t，
NC边上的高为8-（8-
4
3
t）=
4
3
t，其中，0≤t≤6．
∴S=
1
2
（6-t）×
4
3
t=-
2
3
（t2-6t）=-
2
3
（t-3）2+6，
∴当t=3时，△CPN的面积取得最大值，△CPN面积的最大值为6；

（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．精英家教网
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=t．
∴6-t-t=t，
解得t=2；
②若CP=CN，则CN=6-t，PQ=
4
3
t，CP=
5
3
t，
∴6-t=
5
3
t，
解得t=
9
4
；
③若CN=NP，则CN=6-t．
∵PQ=
4
3
t，NQ=6-t-t=6-2t，
∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，
∴（6-t）2=（6-2t）2+（
4
3
t）2，
解得t=
108
43
．
综上所述，t=2或t=
9
4
或t=
108
43
．
点评：本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识点．
练习册系列答案
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如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，∠O=90°，OA=4，BC=3，OC=4．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运精英家教网动．过点N作NP⊥OA于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ． 
（1）点
 
（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落精英家教网在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．
（1）求点G的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的解析式；
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P，F，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．
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（2012•呼伦贝尔）如图，四边形OABC是边长为2的正方形，反比例函数y=
k
x
的图象过点B，则k的值为（　　）
附加题：如图，四边形OABC为直角梯形，已知AB∥OC，BC⊥OC，A点坐标为（3，4），AB=6，若动点P沿着O→A→B→C的方向运动（不包括O点和C点），P点运动路程为S，下列语句中正确的个数精英家教网是（　　）
（1）直线OA的函数解析式为y=
4
3
x；
（2）梯形OABC的周长为24；
（3）若点P在线段AB上时，P点的坐标为（S-5，4）
（4）若点P在线段BC上时，P点的坐标为（9，15-S）
A、1个B、2个C、3个D、4个

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