Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于C，A（0，

11

2

），B（-6，0），连接BD，交y轴于点E，tan∠DBC=

1

2

（1）求直线BD的解析式；
（2）点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，过点P作PH⊥BD于H，设HE的长为y（y≠0），点P的运动时间为t秒，求y与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接AP，以AP为直径的圆交线段BD于Q，当tan∠APQ=

1

2

时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先在Rt△BOE中，根据正切函数的定义求出EO=3，则E（0，3），再设直线BD的解析式为y=kx+b，将B，E两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BD的解析式；
（2）过点E作EF⊥BD于F，将y=

11

2

代入y=

1

2

x+3，求出x=5，得到D点坐标为（5，

11

2

），解Rt△BEF，求出BE=3

5

，BF=

15

2

．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BPH∽△BDC，由相似三角形对应边成比例得出

BP

BD

=

BH

BC

，解得BH=

2 5 t

5

．由于HE的长y≠0，所以t≠

15

2

．分两种情况进行讨论：①当0≤t＜

15

2

时，由BE-HE=

2 5 t

5

，得出y=3

5

-

2 5 t

5

；②当

15

2

＜t≤11时，由BE+EH=

2 5 t

5

，得出y=

2 5 t

5

-3

5

；
（3）先由直径所对的圆周角是直角得出∠AQP=90°，再过点Q作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AQN∽△QPM，则

AQ

PQ

=

AN

QM

=

QN

PM

=

1

2

，设AN=a，则QM=2a，OM=a．分两种情况进行讨论：①当0≤t＜

15

2

时，在Rt△BQM中，由

QM

BM

=

2a

a+6

=

1

2

，求出a=2，则NQ=MN-QM=

3

2

，PM=2NQ=3，再根据PM=BM-BP=8-t，得8-t=3，求出t₁=5；②当

15

2

＜t≤11时，设AN′=b，则Q′M′=2b，OM′=b，在Rt△BQ′M′中，由

Q′M′

BM′

=

2b

6-b

=

1

2

，求出b=

6

5

，则N′Q′=M′N′-Q′M′=

31

10

，P′M′=2N′Q′=

31

5

，再根据P′M′=BP′-BM′=t-

24

5

，得t-

24

5

=

31

5

，求出t₂=11．

解答：解：（1）在Rt△BOE中，∵∠EOB=90°，OB=6，
∴tan∠EBO=

EO

BO

=

1

2

，
∴EO=

1

2

BO=3，
∴E（0，3）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵B（-6，0），E（0，3），
∴

-6k+b=0 b=3

，
解得

k= 1 2 b=3

，
∴直线BD的解析式为y=

1

2

x+3；

（2）如图1，过点E作EF⊥BD于F，
∵y=

1

2

x+3，
∴当y=

11

2

时，

1

2

x+3=

11

2

，
解得x=5，
∴D点坐标为（5，

11

2

）．
在Rt△BEF中，∵∠FEB=90°，BE=

OB2+OE2

=

62+32

=3

5

，
∴BF=

BE

cos∠EBF

=

3 5

6 3 5

=

15

2

．
∵△BPH∽△BDC，
∴

BP

BD

=

BH

BC

，即

t

112+( 11 2 )2

=

BH

11

，
解得BH=

2 5 t

5

．
分两种情况：
①当0≤t＜

15

2

，即点P在BF上，点H在BE上时，
∵BE-HE=

2 5 t

5

，
∴3

5

-y=

2 5 t

5

，
∴y=3

5

-

2 5 t

5

；
②当

15

2

＜t≤11，即点P在FC上，点H在ED上时，
∴BE+EH=

2 5 t

5

，
∴3

5

+y=

2 5 t

5

，
∴y=

2 5 t

5

-3

5

；
综上可知，y=

3 5 - 2 5 t 5 (0≤t＜ 15 2 ) 2 5 t 5 -3 5 ( 15 2 ＜t≤11)

；

（3）∵AP为直径，∴∠AQP=90°．
过点Q作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N．
∵∠PQM+∠AQN=90°，∠QAN+∠AQN=90°，
∴∠QAN=∠PQM，
又∵∠QNA=∠PMQ=90°，
∴△AQN∽△QPM，
∴

AQ

PQ

=

AN

QM

=

QN

PM

=

1

2

，
设AN=a，则QM=2a，OM=a．
分两种情况：
①当0≤t＜

15

2

时，如图3，
在Rt△BQM中，

QM

BM

=

2a

a+6

=

1

2

，解得a=2，
∴NQ=MN-QM=

11

2

-4=

3

2

，
∴PM=2NQ=3，
∵PM=BM-BP=8-t，
∴8-t=3，∴t₁=5；
②当

15

2

＜t≤11时，如图4，
设AN′=b，则Q′M′=2b，OM′=b，
在Rt△BQ′M′中，

Q′M′

BM′

=

2b

6-b

=

1

2

，解得b=

6

5

，
∴N′Q′=M′N′-Q′M′=

11

2

-

12

5

=

31

10

，
∴P′M′=2N′Q′=

31

5

，
∵P′M′=BP′-BM′=t-

24

5

，
∴t-

24

5

=

31

5

，∴t₂=11．
综上可知，当tan∠APQ=

1

2

时，t的值为5秒或11秒．

点评：本题考查了一次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求直线的解析式，锐角三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．