Question

如图，在直角坐标系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=3，BC=4，点A在y轴上，点C在x轴上．
（1）过点A作⊙M的切线交x轴于点P，求直线PA的解析式；
（2）点F为线段PC上的一点，连接AF，若AF将四边形ABCP面积平分，求点F的坐标；
（3）如果点E为PA上的一个动点（不运动到点P，点A），直线EF将四边形PABC的周长平分，设点E纵坐标为t，△PEF的面积为S，求S与t的函数关系式，并求自变量t的取值范围；直线EF能否将四边形PABC的周长和面积同时平分？若存在，请求出直线EF的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，则AC⊥AP，先求出PO，再求出点P坐标，就可得出PA的解析式；
（2）先求出四边形PABC的面积，再设PF，求出PF的长度，就可得出点F的坐标；
（3）过E作EN⊥x轴于N，由三角形相似得出各线段比，然后求出PE，PF，再得出t的取值范围，然后用t表示S，最后由△得出EF，不存在．

解答：解：（1）连接AC，则AC⊥AP，PO=

16

3

，
∴P（

16

3

，0），直线PA的解析式为y=-

3

4

x+4；

（2）S_PABC=

1

2

(3+

25

3

)×4=

68

3

，设PF=a，
则

1

2

a×4=

1

2

×

68

3

，a=

17

3

，
∴F（-

1

3

，0）；

（3）过E作EN⊥x轴于N，

EN

AO

=

PE

PA

，

t

4

=

PE

20 3

，PE=

5

3

t，
四边形PABC的周长是22，直线EF将周长平分，
PE+PF=11，PF=11-

5

3

t，
S=

1

2

PF•EN=-

5

6

t2+

11

2

t．
由

t＞0 t＜4 0＜11- 5 3 t＜ 25 3

解得

8

5

＜t＜4，
由S=-

5

6

t2+

11

2

t=

34

3

，化简得5t²-33t+68=0，
△=1089-1360＜0，
所以这样的EF不存在．

点评：本题涉及一次函数的综合性质，难度中上．