Question

如图，直线y=-x+3与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连结OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，则k=    ．

Answer 1

【答案】分析：对于直线y=-x+3，分别令x与y为0求出对应的y与x的值，确定出E、F坐标，即OE、OF的长，过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，设出A与B坐标，联立一次函数与反比例函数解析式，消去y得到关于x的方程，利用根与系数的关系得出OA=OB，利用三线合一得到AM=BM，根据S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，得到FB=BM=AM=AE，过A作AN⊥OE，得到三角形OAE面积为三角形OEF面积的四分之一，求出三角形OAE的面积，根据OE的长求出AN的长，即为A的纵坐标，代入直线解析式求出x的值，即为A的纵坐标，确定出A的坐标，即可求出k的值．
解答：解：令y=0，则-x+3=0，
解得x=3，
令x=0，则y=3，
∴点E（3，0）、F（0，3），
∴OE=OF=3，即S_△EOF=，
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立，
消掉y得，x²-3x+k=0，
根据根与系数的关系，x₁•x₂=k，
∴y₁•y₂=k，
∴y₁=x₂，y₂=x₁，
∴OA=OB，
∴AM=BM（等腰三角形三线合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
过A作AN⊥OE，可得S_△OAE=S_△EOF=，
∴×3×AN=，即AN=，
将y=代入y=-x+3中得：x=，
∴点A（，），
则反比例函数解析式中的k=．
故答案为：
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立两函数解析式求解得到OA=OB，然后根据三角形的面积求出点A、B、M是线段EF的四等分点，并求出点A的坐标是解题的关键．