Question

如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴与x轴的正半轴于E、F两点．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；

(3)连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

Answer 1

解：(1)由题意可得A(0,2)，B(2,2)，C(3,0)，

设所求抛物线的解析式为y＝ax²＋bx＋c，

则　解得

∴抛物线的解析式为y＝－x²＋x＋2.

(2)设抛物线的顶点为G，则G(1，)．如图，过点G作GH⊥AB，垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝.

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH.

∴GH是△BEA的中位线，

∴EA＝2GH＝.

过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM＝OA＝AB.

∵∠EBF＝∠ABM＝90°，

∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，

∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM＝EA＝.

∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝.

(3)设CF＝a，则FM＝a－1或1－a，同时0<a<3

∴BF²＝FM²＋BM²＝(a－1)²＋2²＝a²－2a＋5.

∵△EBA≌△FBM，∴BE＝BF.

则S_△BEF＝BE×BF＝BF²＝(a²－2a＋5)，

又∵S_△BFC＝FC×BM＝×a×2＝a，

∴S＝(a²－2a＋5)－a＝a²－2a＋，

即S＝(a－2)²＋，

∴当a＝2(在0<a<3范围内)时，S_最小值＝.