Question

已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，点A为x轴负半轴上一点C（0，-2），D（-3，-2）．
（1）求△BCD的面积；
（2）若AC⊥BC于C，作∠CBA的平分线交CO于P，交CA于Q，求证：∠CQP=∠CPQ
（3）若点B为x轴正半轴上的动点，∠ACB的平分线CE交DA的延长线于E点，设∠ADC=∠DAC=α，∠ACE=β，请你用含α、β的式子表示∠E的大小；
（4）在（3）的条件下，

∠E

∠ABC

的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；
（4）在△AOE和△BOC中，利用三角形内角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解．

解答：解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD∥x轴，
∴△BCD的面积=

1

2

×3×2=3；

（2）∵BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠CQP=∠CPQ；

（3）在△ACE中，∠E=∠DAC-∠ACE=α-β；

（4）在△AOE和△BOC中，∠E+∠EAO+∠AOE=180°，
∠ABC+∠BCO+∠BOC=180°，
∵CD∥x轴，
∴∠EAO=∠ADC=α，
又∵∠AOE=∠BOC（对顶角相等），
∴∠E+∠EAO=∠ABC+∠BCO，
即α-β+α=∠ABC+β，
∴∠ABC=2（α-β），
∴

∠E

∠ABC

=

1

2

，（是定值，不变）．

点评：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．