Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC，交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）其中BC=6，cosC=

3

5

，求⊙O的半径；
（3）如果⊙O在如图位置开始沿着射线BA方向移动，当OB满足什么条件时，⊙O与直线AC相交？（直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；
（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12-r，从而根据平行线分线段成比例定理求解；
（3）△ABC是已知的三角形，因而边长是已知数值，设AB=AC=a，BC=2b，则BE=EC=b，则a，b就是已知数．利用相似三角形的性质求得当⊙O与直线AC相切时OB的长度，进而即可求得OB的范围．

解答：（1）证明：连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；

（2）解：设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=

3

5

，
∴AB=BE÷cosB=5，则OA=5-r．
∵OM∥BE，
∴

OM

BE

=

OA

AB

，
即

r

3

=

5-r

5

，
解得r=

15

8

；

（3）设AB=AC=a，BC=2b，则BE=EC=b，设AE=h，同（2）可以得到：

a-r

a

=

r

b

，解得：r=

ab

a+b

，
则△ABC中AC边上的高长是：BG=

2bh

a

．
当圆与AC相切，且O在边AN上时：作OF⊥AC于，则OF=r=

ab

a+b

，且OF∥BG．
∴

OF

BG

=

OA

AB

，
∴OA=

OF•AB

BG

=

a2b a+b

2bh a

=

a3

2h(a+b)

，
又∵h=

a2-b2

，
∴OA=

a3

2(a+b) a2-b2

=

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

．
则OB=a-

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

．
当O在BA的延长线上，且与AC相切时，OB=a+

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

．
则当OB满足：a-

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

＜OB＜a+

a3 a2-b2

2(a+b)2(a-b)

时⊙O与直线AC相交．

点评：本题是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质、三角函数的综合应用，正确利用三角形的边长表示出⊙O与直线AC相交是OB的长度是关键．