Question

在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（I）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若△ACD的面积为S₁，则S₁=________（用含a的代数式表示）；
（II）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若△DEC的面积为S₂，则S₂=________（用含a的代数式表示），并写出理由．
（III）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，得到△DEF（如图3），若阴影部分的面积为S₃，则S₃=________（用含a的代数式表示）．

Answer 1

a    2a    6a
分析：（I）由三角形ABC与三角形ACD中BC=CD，且这两边上的高为同一条高，根据等底同高即可得到两三角形面积相等，由三角形ABC的面积即可得到三角形ACD的面积，即为S₁的值；
（II）连接AD，由CD=BC，且三角形ABC与三角形ACD同高，根据等底同高得到两三角形面积相等，同理可得三角形ABC与三角形ADC面积相等，而三角形CDE面积等于两三角形面积之和，进而表示出三角形CDE的面积；
（III）根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于3S₂，由S₂即可表示出S₃．
解答：（I）∵BC=CD，且△ABC与△ACD同高，
∴S_△ABC=S_△ADC，又S_△ABC=a，
∴S_△ADC=a；
（II）连接AD，如图2所示：

∵BC=CD，且△ABC与△ACD同高，
∴S_△ABC=S_△ADC=a，
同理S_△ADE=S_△ADC=a，
∴S_△CDE=2S_△ABC=2a；
（III）如图3，接AD，EB，FC，
同理可得：S_△AEF=S_△BFD=S_△CDE，
则阴影部分的面积为S₃=3S_△CDE=6a．
故答案为：a；2a；6a
点评：此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的面积，解题的关键是灵活运用等底同高的两三角形面积相等来解决问题．