题目内容

【Ⅰ】如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S_△PMD= $数学公式$ S_△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【Ⅱ】我校工会于“三•八”妇女节期间组织女职工到国家级风景区“文成铜铃山”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
【领队】组团去“文成铜铃山”旅游每人收费是多少？
【导游】如果人数不超过30人，人均旅游费用为360元．
【领队】超过30人怎样优惠呢？
【导游】如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于300元．
我校按旅行社的收费标准组团浏览“文成铜铃山”结束后，共支付给旅行社12400元．设我校这次参加旅游的共有x人．
请你根据上述信息，回答下列问题：
（1）我校参加旅游的人数x的取值范围是；
（2）我校参加旅游的人每人实际应收费元（用含x的代数式表示）；
（3）求我校这次到“文成铜铃山”观光旅游的女职工共有多少人？

【Ⅰ】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD= $\text{[math]}$ BC=5cm，
且∠ADB=90°．
∴ $\text{[math]}$ ．
即AD的长为12cm；

（2）AP=t，PD=12-t， $\text{[math]}$
又由S_△PDC=15，得 $\text{[math]}$ ．
解得，t=6．

（3）假设存在t，
使得S_△PMD= $\text{[math]}$ S_△ABC．
①若点M在线段CD上，
即 $\text{[math]}$ 时，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD= $\text{[math]}$ S_△ABC，
即 $\text{[math]}$ 2t²-29t+50=0
解，得t₁=12.5（舍去），t₂=2．
②若点M在射线DB上，即 $\text{[math]}$ ．
由S_△PMD= $\text{[math]}$ S_△ABC
得 $\text{[math]}$ 2t²-29t+70=0
解，得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
综上，存在t的值为2或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
使得S_△PMD= $\text{[math]}$ S_△ABC．

【Ⅱ】
解：（1）我校参加旅游的人数x的取值范围是x＞30；

（2）我校参加旅游的人每人实际应收费[360-5（x-30）]元（用含x的代数式表示）；

（3）依题意，得[360-5•（x-30）]•x=12400，
化简、整理，得x²-102x+2480=0．
解，得x₁=40，x₂=62．
当x₁=40时，360-5•（x-30）=360-5•（40-30）=310＞300，符合题意．
当x₂=62时，360-5•（x-30）=360-5•（62-30）=200＜300，不符合题意，应舍去．
∴x₁=40．
答：我校这次参加旅游的共有40人．
分析：【Ⅰ】（1）根据勾股定理求得AD的长；
（2）表示出PD=12-t，S_△PDC=15，得 $\text{[math]}$ ，求得t的值即可；
（3）假设存在t，使得S_△PMD= $\text{[math]}$ S_△ABC．分两种情况进行讨论：①若点M在线段CD上，②若点M在射线DB上，从而求得t的值；
【Ⅱ】（1）先根据旅游的费用，求得我校参加旅游的人数x的取值范围；
（2）有x人参加旅游，每人的费用降低5（x-30）元，人均费用[360-5（x-30）]元，
（3）找到等量关系列出方程，人均费用×总人数=12400，求出这次到“文成铜铃山”观光旅游的女职工共有的人数．
点评：本题是两个题目，难度不大，考查了勾股定理、动点问题和不等式的实际应用．